Задача № 4.

 Дано :DABC - -  правильный тетраэдр c длиной ребра = 1:
                         т. E и т. F - середины ребер ,соответственно, АВ и ВС;
 _________________________________________________________

    Найти  угол между прямыми АЕ и DF .


                                   Решение.

1. Определяем параметры для расчета по формуле (1) (см. введение). Выберем плоскость проекции : пл . АВС. (см. рис. вверху,слева). Тогда для прямой АЕ 
         :α1 = 0 :  sin α1 = 0 ;  cos α1 = 1 ;
 Для прямой DF :
           cos α2  = FO / DF = ( (1/3)FC / DF = 1/3  ,
(т.к. DF = FC ,  DО - высота пирамиды ; FO = 1/3 FC ( почему?) ;
           β = ے AOF = 60гр. (почему?)  
           cos β = 1/2
2   Подставляем эти значения в ф-лу (1) :           

                cos γ = │ cos α2 cos β │= 1/3 x 1/2 = 1/6           

   (проблем с определением знака нет ,т.к. 1-ое слагаемое ф-лы (1) равно 0 ) 


                    Ответ : cos γ = 1/6


   Задание 1 :
Найдите решение этой задачи 2- мя стандартными методами ,описанными во введении и сравните с выше приведенным.

   Задание 2 :

В этом  же тетраэдре  т. G и т. H  -середины ребер DB и DC ,соответственно Найдите угол между прямыми AG и BH  по ф-ле  (1) . (Это необходимо для закрепления полной ф-лы с учетом знака )

    Задание 3. Найдите самое красивое решение задачи из задания 2 !