Задача №5.
Дано :ABCА1В1С1 - правильный треугольная призма c длиной ребра = 1:
т. E и т. F - середины ребер ,соответственно, АА1 и ВС;
_________________________________________________________
Найти синус угла между прямой EF и плоскостью АВС1 .
Решение.
Обозначения :
^ - квадратный корень . Пример : ^3 - квадратный корень из трех; ^(5+а) -квадратный корень из суммы 2-х слагаемых а и 5
* - показатель степени 2. Пример : 3* - три в степени 2 или три в квадрате; (7+а* )* -квадрат суммы 2-х слагаемых 7 и а в квадрате.
Если вам непонятны обозначения,обратитесь к более сильным ученикам Советуем все ниже перечисленные формулы переписать в привычном для вас виде. К сожалению, журнал не предназначен для написания формул. Тем не мене ,из-за простоты формул можно обойтись этими двумя обозначениями. )
1. Определяем параметры ,необходимые для расчета по ф-ле (1) (зан.№5: введение).
а) Параметры прямой EF ( рис 10) :
ctg α_пр = AF / AE = (^3 / 2) / (1 /2) = ^3
sin α_пр = 1 / ^ ( 1 + ctg*α_пр ) = 1 / ^ (1 + 3 ) = 1 / 2
cos α_пр = ^ ( 1 - sin*α_пр ) = ^ (1 - 1/4 ) = ^3 / 2
б) Параметры плоскости АВС1 (рис 10 , GC - середина ребра АВ) :
ctg φ_пл = GC / CC1 = ( ^:3/ 2) / 1 = ^3 / 2
sin φ_пл = 1/ ^( 1+ ctg*φ_пл ) = 1 / ^ (1 + 3/4 ) = 2 / ^7
cos φ_пл = ^ ( 1- sin*φ_пл ) = ^ ( 1 - 4/7) = ^ (3/7)
в) β = 30гр (см . рис 11 )
sin β = 1/2
2 Подставляем в ф-лу (1) :
sin γ = │ sin α_пр cos φ_пл + cos α_пр sin φ_пл sin β│ (знак + , т.к. угол между векторами FA и CG - острый (см . рис 11 )
sin γ = │ 1/2 x ^(3/7) + ^3/2 x 2/^7 x 1/2 │ = ^(3/7) = ^21 / 7
Ответ : sin γ = ^21 / 7
Задание 1. Найти решение задачи 1 еще хотя бы одним способом. На самом деле их не менее 6).
Задание 2 . Найти угол между той же самой плоскостью АВС1 и прямой,проходящей через т. F и середину ребра А1С1 .
Задание 3. Найдите самое красивое решение задачи 5 !
