.

Занятие 1.
                    Определение расстояния от точки до прямой

 (Обозначения : 
                        ^   - квадратный корень . Пример :  ^3  - квадратный корень из трех; ^(5+а) -квадратный корень из суммы 2-х слагаемых а и 5 
                        * -  показатель степени 2.   Пример : 3* - три в степени 2 или три в квадрате; (7+а* )*  -квадрат суммы 2-х слагаемых 7  и  а в квадрате. 
  Если  вам непонятны обозначения,обратитесь к более сильным ученикам  Советуем все нижеперечисленные формулы переписать в привычном для вас виде. К сожалению, журнал не предназначен для написания формул. Тем не мене ,из-за простоты формул можно обойтись этими двумя обозначениями. ) 

       Данная задача является самой простой из 6-и типовых вариантов. Существуют 2 основных способа ее решения.
       1-й способ связан с проведением плоскости через заданную прямую и заданную точку (рис. вверху, слева). Обычно на прямой берут две точки (А, В ), расположенные на гранях или ребрах заданной фигуры, и соединяют их с заданной точкой (С).В образовавшемся треугольнике определяют все стороны (см. ниже)) и находят высоту (FС), опущенную из вершины (зад. т. С) на основание (зад. прямую АВ ). Эта высота (FС) и является искомым расстоянием от тоски до прямой.
      В общем случае мы получаем АВС с 3-я разными длинами (а,в,с). Длины могут быть определены как решение планиметрической задачи (если стороны АВС расположены на гранях фигуры) или пространственной. В последнем случае используется простая формула :

             BC = ^[BCпр.* + (Hb - Hc)*]                                                       (1)                                           

    (ВС равняется квадрат.корню из суммы 2-х квадратов: квадрату проекции и квадрату разности длин перпендикуляров. <= теор. Пмфагора)
    где   BCпр. - длина проекции ВС на плоскость α,.

        Hb - длина перпендикуляра из т. В на пл. α,.

        Hc  -длина перпендикуляра из т. С на пл. α, (в нашем случае =0, т. к. т.C принадл. пл.  α,.)

       Для прямой призмы длина перпендикуляра обычно соотносится с

ее высотой (длиной ребра); для правильной пирамиды — с высотой пирамиды.

Высота Δ АВС ( FC) с длинами сторон а,в,с ( рис №1) определятся по следующей формуле:

           FC =  ^[ a* - (a*+c* - b*)* / 4c*]                                               (2)

 или ей равносильной :

            FC = ^[ b* - (b*+c* - a*)* / 4c*]                                              (2`)

    Вывод этой формулы прост и доступен уч. с оценкой от 3.5 (Используется теорема косинусов и Пифагора). Вывод приведен также в уч. Погорелова. Формулу (2) советуем запомнить и именно в такой форме (т.к. практически всегда как минимум одна из сторон треугольника представляет собой радикал ).
    Обычно , в тренировочных заданиях эта формула не используется,т.к. получаются более простые треугольники : равносторонние, равнобедренные,прямоугольные или треугольники с известной высотой из другой вершины. В этом случае используются следующие формулы :

а) Равносторонний треуг. , a = b = c :

           FC=  ^3 / 2    ( корень из трех ,деленный на два)                                      (3)

б) Равнобедренный треуг. , а = b

           FC = ^( a* -c*/4)                                                                             (4)

в) Треуг. с 3-vя разными сторонами a, b, c и известной высотой на сторону b(Hb)

           FC =( b / c )Hb                                                                                        (5)

     Эти формулы можно не запоминать, т.к. они легко выводятся: формула (3) на основе связи катета ,гипотенузы и угла между ними : ф-ла (4) - на основе теор. Пифагора: ф-ла (5) — на основе фор-лы для площади треуг.-ка.
      2-ой способ,менее известный. основан на проведении через заданную точку (А) (рис.1) плоскости,перпендикулярной к заданной прямой (АВ). для того чтобы это реально сделать необходимо иметь 2 взаимно- перпендикулярные плоскости,одна из которых проходит через заданную прямую,а другая - через заданную точку. Эти плоскости могут быть как готовые( плоскости используемой фигуры), так и специально проведенные нами. Затем ,проведя перпендикуляр. из т. А на линию пресечения плоскостей (АВ`) получим т. Е. Из т. Е проводим 2-ой перпенд-р к прямой АВ. Получаем т. F. Соединив т. С и т. F. получаем искомый перпенд.-р к прямой АВ (на основании теоремы о 3-х перпендикулярах., где FС - наклонная, а FЕ - ее проекция на плоскость β .

   Отсюда :

         CF = ^(CE*  + FE*)           (теор. Пифагора)                                                 (6)

 Обозначим CF = l, CE = s, AE = d , ے BAB` = φ . Формулу (6) можно переписать в виде :

           l = ^[ s* + d*sin*φ ]                                                                                   (7)

    Эта формула справедлива при любом положении плоскости проекции ( β ) .Когда она проходит через точку С, мы получаем 1-ый случай (см. 1-й способ).
     В основном мы будем пользоваться формулой (7),но ф-ла (6) имеет боле общий характер. Ею можно пользоваться когда заданная прямая параллельна линии пересечения плоскостей ,или когда трудно определить d.