Определение угла между двумя прямыми.

   Это вторая по простоте ( после определ. расстояния от точки до прямой,см. зан. №1) задача из 6-ти предложенных. Стандартный метод заключается в параллельном переносе одной прямой  или обоих до их взаимного пересечения ("сводят концы с концами"); на каждой из прямых берутся еще по одной точке и соединяют их отрезком,в результате чего образуется треугольник: определяют все его стороны, и по теореме косинусов находят искомый угол (cos γ).
  Другой стандартный способ основан на методе координат. Это универсальный метод,им можно решить все 6 типов задач, но в базовых шк. учебниках он подробно описан только для решения рассматриваемой  нами сейчас задаче. Для других задач (кроме 1-ой ) вам необходимо (и ,прежде всего,знать ,что это такое) находить уравнение плоскости (а это подробно не описывается).Вместо этого мы предлагаем более простой вариант со всеми знакомыми для вас понятиями.
   Пусть  у нас имеется 2 прямые : a и b  (cм. рис 7 , ),пересекающие пл. θ в точках E и F под углами α1 и  α2, соответственно.Обозначим через  β минимальный из вертикальных углов , образованный при пересечении проекций этих прямых  (ЕА и F B)  на плоскость θ .Обозначим стрелками направления проекций этих прямых от точек пересечения E и F до проекций любых из точек ,выбранных на прямых (т.А и т. В). Тогда косинус угла между этими 2- мя прямыми будет определяться по формуле:

               cos γ = │sin α1 sin α2  +-  cos α1 cos α2 cos β │             (1) ,

где знак + берется , если угол между лучами (векторами) ЕА и FB острый, и - ,если  тупой.( На рис.7 внизу показано точное положение этих лучей на плоскости θ. Видно ,что угол - тупой . и поэтому знак  - . Можно дать другую ,более простую, запись формулы с одним знаком + , если под  β понимать угол между векторами ЕА и FB а не минимальный угол,как в в 1-ом определении ):

                cos γ = │sin α1 sin α2  +  cos α1 cos α2 cos β │             (2) ,

Мы ,все же , будем придерживаться формулы (1), т.к. для других задач будут похожие формулы с двумя знаками.
    Формула (1) может быть выведена не менее,чем 3-мя способами. Уч 10 и 11 кл. с оцнкой 4 и выше могут самостоятельно вывести эту ф-лу. Если не получается, следует обратиться за помощью к более сильным ученикам.