Задача № 6.
Дано :SABCDEF - правильная шестиугольная пирамида ;
AB = 1 ; OS = 3/2 ( высота пирамиды ). ;
_________________________________________________________
Найти : косинус угла между плоскостями ASB и SCD .
Решение .
(Обозначения :
^ - квадратный корень . Пример : ^3 - квадратный корень из трех; ^(5+а) -квадратный корень из суммы 2-х слагаемых а и 5
* - показатель степени 2. Пример : 3* - три в степени 2 или три в квадрате; (7+а* )* -квадрат суммы 2-х слагаемых 7 и а в квадрате.
+- - плюс ,минус (2 варианта выбора )
Если вам непонятны обозначения,обратитесь к более сильным ученикам Советуем все ниже перечисленные формулы переписать в привычном для вас виде. К сожалению, журнал не предназначен для написания формул. Тем не мене ,из-за простоты формул можно обойтись этими двумя обозначениями. )
1 В силу симметрии фигуры параметры плоскостей совпадают .Поэтому находим sin φ и cos φ для одной из них (ASB )( см.рис.13,вверху,слева) :
ctg φ = GO / SO = ^3/2 : 3/2 = ^3/3
sin φ = 1/ ^ ( 1 + ctg*φ ) = 1 / ^ (1 + 1/3 ) = ^3/2
cos φ = 6 (1 - sin*φ ) = ^ ( (1 - 3/4 ) = 1/2
2. β = 60гр ; cos 60гр = 1/2 ; (см. рис . № 14,вверху,слева).
Там же видно ,что угол между стрелочками - тупой . Следовательно - знак - ;
Подставляем в ф-лу (1) (введение ) :
cos γ = │ cos φ1 cos φ2 + - sin φ1 sin φ2 cos β│=
cos γ = │cos*φ - sin*φ cos β │ = │1/4 - 3/4 x 1/2 │ =
= │1/4 - 3/8 │ = 1/8 ;
Ответ : cos γ = 1/8 .
Задание 1. Этим же способом найдите косинус угла между плоскостями ABS и SED, ABS и SBC.
Задание 2. Найдите хотя бы один другой способ решения задачи 6 ( на самом деле их не мене 6).
Задание 3. Найдите самое красивое решение задачи 6.